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一笔画游戏用Python玩烧脑小游戏《一笔画完》,瞬间闯到100关(烧脑游戏132关一笔画成视频教学)

2021-02-22 13:43:37 作者: 掌钛游侠网

昨天和朋友出去外面吃饭,吃完饭后朋友打开了一个小程序玩了起来......

用Python玩烧脑小游戏《一笔画完》,瞬间闯到100关(烧脑游戏132关一笔画成视频教学)

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游戏长这样

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大概玩法是:从地图中猫的位置开始出发,并且经过所有的格子就算过关。游戏还算挺有意思的,经过我的不断努力终于过到了 30 来关的样子。

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并且随着游戏关卡的增加,游戏难度也变得越来越大,过一关需要非常久的时间。

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最近也正好在研究算法,就打算看能不能写个通用的算法来找出每个地图的解。

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哥尼斯堡的"七桥问题"

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这个游戏的玩法和哥尼斯堡的"七桥问题"有点类似。

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哥尼斯堡的"七桥问题":18 世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里,有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如下图)。是否可能从这四块陆地中任一块出发,恰好通过每座桥一次,再回到起点?

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当时人们想到的证明方法是把七座桥的走法都列出来一个一个试验,用排列组合的知识很容易得到七座桥所有的走法大概有 7! = 5040 种,如果真的逐一试验,会是个很大的工作量。

但数学家欧拉没有这样想,欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点,七座桥抽象成连接每个顶点的七条边,那么这个问题就能被抽象成下面的图:

假设每座桥都恰好走过一次,那么对于 A、B、C、D 四个顶点中的每一个顶点,需要从某条边进入,同时从另一条边离开,进入和离开顶点的次数是相同的,即每个顶点有多少条进入的边,就有多少条出去的边。

也就是说:每个顶点相连的边是成对出现的,即每个顶点的相连边的数量必须是偶数。

很明显,上图中 A、C、D 三个顶点相连的边都有 3 条,B 顶点的相连边为 5 条,都是奇数。因此这个图无法从一个顶点出发,且恰好走过每座桥一次。

由此次证明,人们又得到了欧拉路关系,要使得一个图形可以一笔画完,必须满足如下两个条件:

图形必须是连通的不能有孤立的点。图中拥有奇数连接边的点必须是 0 或 2。对于一个连通图,通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。那么这个游戏是不是就是让我们找到一条欧拉路呢?

对游戏进行抽象

按照上面证明七桥问题的方法,我们可以将游戏的地图抽象成这样:

其中 14 号顶点为起点。顶点和边的关系在程序中可以刻画成一个二维列表。graph = [ [1, 6], #0 [0, 2], #1 [1, 7, 3], #2 ... [24, 19] #25 ] graph 列表的第一层表示每一个顶点,第二层则是与当前顶点有边的顶点。

抽象完这张游戏地图后可以很清楚知道,这游戏并不是让我们找到一条欧拉路。

因为找到一条欧拉路,需要的是经过每一座桥,且只经过一次,也就是说每个顶点可以被多次经过。

而这个游戏需要的是经过每一个顶点,并不要求走完每一座桥,且顶点只能被经过一次。

哈密顿通路

在研究了七桥问题发现并不能解决这类问题后,我开始向团队的表哥们请教,其中一个表哥告诉我此类问题叫做哈密顿图 (这里感谢下团队的**@xq17**表哥)。

这里说的哈密顿图,实际上是哈密顿通路的一种特殊情况,指的是:由指定的起点出发,途中经过所有其他顶点且只经过一次 ,最后返回起点,称之为哈密顿回路。如果给定的图 G 具有哈密顿回路,则称图 G 为哈密顿图。

那么现在目标明确了,这个游戏的解法就是找到某个给定图的哈密顿通路。

但是问题来了!!!哈密顿通路问题,在上世纪七十年代初,被证明是 NP-hard 问题:

一个复杂问题如果能在多项式时间内解决,那么它便被称为 P 类问题。一个复杂问题如果不能确定在多项式时间内解决,那么它便被称为 NP 类问题。什么意思呢?就拿质因数分解来说吧:

P 类问题:23x37=?NP 类问题:已知 axb=740914799,且 a 和 b 都是质数,求 a 和 b 的值让我们来看看这个问题有多复杂:

因为 axb=740914799,且 a 和 b 都是质数设 P={x|2<=x<740914799/2,x 是质数}易得 (a,b)∈PxP,即 P 与它自身的笛卡尔积我们用一种叫做筛法的算法来求一下 P 集合的元素个数:

#! /usr/bin/env python # -*- coding: utf-8 -*- # Coding with love by Naiquan. import math import time start = time.clock() number = int(740914799/2) marks_list = [True] * (number + 1) marks_list[0] = marks_list[1] = False for i in range(2, int(math.sqrt(number)) + 1): j = i t = j # 去掉倍数 while j * t <= number: marks_list[j * t] = False t += 1 elapsed = str(time.clock() - start) print marks_list.count(True) print "Time used:" + elapsed

一共有 19841519 个质数,算了我大概 14 分钟。

PxP 的元素个数一共有 19841519^2 个,要一个个验证是否等于 740914799,无疑又是一项很大的工程,这就是典型的 NP 类问题。NP 类问题虽然难,但是可以很快验证一个给定的答案,是否正确。

比如上面的题,我告诉你答案 a=22229,b=33331,你很快就能验证答案是否正确了。而 NP-hard 问题则是比 NP 问题更难的问题,例如:围棋。

也就是说并不能找到一个友好的算法,来解决哈密顿通路问题。

算法设计

虽然找到一个图的哈密顿通路是 NP 困难的,但是好在游戏中的顶点不算太多,还是可以使用暴力一点的方法实现的,例如:图的深度优先遍历法(DFS) 即递归和回溯法思想。

算法流程:

①将当前顶点压入已访问栈和路径栈中。

②将与当前顶点相通的顶点列出来。

③随机选取一个相通的顶点,并判断此顶点是否在已访问栈中:

在已访问栈中则取另一个相通的顶点。不在则将这个相通的顶点作为当前顶点。若所有相通的顶点都在已访问栈中, 则判断路径栈是否包含所有顶点。路径栈中包含所有顶点,则路径栈为当前图的哈密顿通路。不包含所有顶点则回到父顶点, 并从已访问栈和路径栈中删除。④反复执行 1~3。

算法实现

上面说过图的顶点和边的关系可以用一个二维列表来描述:

graph = [ [1, 6], #0 [0, 2], #1 [1, 7, 3], #2 ... [24, 19] #25 ] 但是要手动输入这些顶点和边的关系还是太麻烦了。仔细想了下,如果每个顶点的上下左右有顶点,就一定与上下左右的顶点有边。

那么这个二维列表就可以简化成

graph = [ [1,1,1,1,1,1], [1,0,1,1,0,1], [1,1,1,1,1,1], [1,0,1,1,0,1], [1,1,1,1,1,1], [0,0,0,0,0,0] #每个1代表一个顶点 1与上下左右的1都有边 与0则没有 长宽相等易于编写代码 ] 还可以再简化成一维列表:

graph = [ '111111', '101101', '111111', '101101', '111111', '000000' ] 简直机智如我啊!于是我写了个函数对一维列表进行转换:

def get_index(i, j, G): num = 0 for a in xrange(i): num += G[a].count('0') for b in xrange(j): if G[i][b] == '0': num += 1 return i * len(G) + j - num def get_graph(G): G = [list(x) for x in G] EG = [] for i in xrange(len(G)): for j in range(len(G[i])): if G[i][j] == '0': continue side_list = [] if j+1 <= len(G[i]) - 1: if G[i][j+1] == '1': index = get_index(i, j+1, G) side_list.append(index) if j-1 >= 0: if G[i][j-1] == '1': index = get_index(i, j-1, G) side_list.append(index) if i+1 <= len(G) - 1: if G[i+1][j] == '1': index = get_index(i+1, j, G) side_list.append(index) if i-1 >= 0: if G[i-1][j] == '1': index = get_index(i-1, j, G) side_list.append(index) EG.append(side_list) return EG

而算法的实现用图的邻接矩阵则更为方便,因此我写了一个将上列二位列表转换成邻接矩阵形式的函数:

def get_matrix(graph): result = [[0]*len(graph) for _ in xrange(len(graph))] # 初始化 for i in xrange(len(graph)): for j in graph[i]: result[i][j] = 1 # 有边则为1 return result

主要的 DFS 算法如下:

# graph为图的邻接矩阵 used为已访问栈 path为路径栈 step为已经遍历的顶点的个数 def dfs(graph, path, used, step): if step == len(graph): # 判断顶点是否被遍历完毕 print path return True else: for i in xrange(len(graph)): if not used[i] and graph[path[step-1]][i] == 1: used[i] = True path[step] = i if dfs(graph, path, used, step+1): return True else: used[i] = False # 回溯 返回父节点 path[step] = -1 return False def main(graph, v): used = [] # 已访问栈 path = [] # 路径栈 for i in xrange(len(graph)): used.append(False) # 初始化 所有顶点均未被遍历 path.append(-1) # 初始化 未选中起点及到达任何顶点 used[v] = True # 表示从起点开始遍历 path[0] = v # 表示哈密顿通路的第一个顶点为起点 dfs(graph, path, used, 1) 完整代码如下:

#! /usr/bin/env python # -*- coding: utf-8 -*- # Coding with love by Naiquan. def dfs(graph, path, used, step): if step == len(graph): print path return True else: for i in xrange(len(graph)): if not used[i] and graph[path[step-1]][i] == 1: used[i] = True path[step] = i if dfs(graph, path, used, step+1): return True else: used[i] = False path[step] = -1 return False def main(graph, v): used = [] path = [] for i in xrange(len(graph)): used.append(False) path.append(-1) used[v] = True path[0] = v dfs(graph, path, used, 1) def get_index(i, j, G): num = 0 for a in xrange(i): num += G[a].count('0') for b in xrange(j): if G[i][b] == '0': num += 1 return i * len(G) + j - num def get_graph(G): G = [list(x) for x in G] EG = [] for i in xrange(len(G)): for j in range(len(G[i])): if G[i][j] == '0': continue side_list = [] if j+1 <= len(G[i]) - 1: if G[i][j+1] == '1': index = get_index(i, j+1, G) side_list.append(index) if j-1 >= 0: if G[i][j-1] == '1': index = get_index(i, j-1, G) side_list.append(index) if i+1 <= len(G) - 1: if G[i+1][j] == '1': index = get_index(i+1, j, G) side_list.append(index) if i-1 >= 0: if G[i-1][j] == '1': index = get_index(i-1, j, G) side_list.append(index) EG.append(side_list) return EG def get_matrix(graph): result = [[0]*len(graph) for _ in xrange(len(graph))] for i in xrange(len(graph)): for j in graph[i]: result[i][j] = 1 return result if __name__ == '__main__': map_list = [ '111111', '101101', '111111', '101101', '111111', '000000' ] G = get_graph(map_list) map_matrix = get_matrix(G) # print map_matrix SP = 14 main(map_matrix, SP)

结束

在实现了功能后,我拿着这个程序成功过到了差不多一百关,然后就玩腻了,哈哈哈哈哈哈哈哈哈

本文参考资料:

七桥问题_百度百科}

哈密顿图_百度百科}

这个数学题我做可以,但世界毁灭了别怪我}

基于回溯法寻找哈密顿回路}

Tags: 一笔画游戏

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